Десять знаків — від нуля до дев’ятки — формують основу нашого повсякденного рахунку. Цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 складають десяткову систему, де кожне число народжується з їхньої комбінації. Але коли мова йде про кількість самих цифр, відповідь проста й скінченна: рівно десять у знайомій нам системі. Зовсім інша історія з числами — їхня множина розкошує в нескінченностях, де один вид нескінченності поступається іншому, ніби океани без горизонту.

Уявіть річку натуральних чисел: 1, 2, 3… Вона тече вічно, без останньої краплі. Їхня кількість — перша нескінченність, зліченна, позначена як алеф-нуль. А дійсні числа, з їхніми безкінечними десятковими дробами, утворюють континуум — потужнішу безмежність. Цифр існує рівно десять у десятковій системі, а чисел — нескінченно багато, з ієрархією потужностей.

Ця градація відкриває двері до математичного космосу, де прості знаки оживають у величезних структурах. Дозвольте зануритися глибше, розбираючи шари від базових символів до трансфінітних кардиналів.

Цифри: скінченні будівельні блоки чисел

Цифра — це не просто малюнок, а ключ до позиційної системи числення, де значення залежить від місця. У десятковій системі, нашій повсякденній, базою слугує десять: від 0, що позначає порожнечу чи початок, до 9. Без нуля не було б сучасної математики — він з’явився в Індії приблизно в VII столітті, перетворивши хаотичний рахунок на елегантну систему.

Але цифри не обмежуються десяткою. Кожна система має свою кількість символів, рівну основі мінус один для значень. Перед тим, як скласти вступне речення до списку, зауважте: ці системи народилися з практичних потреб — від торгівлі до комп’ютерів.

• Бінарна (основа 2): Лише дві цифри — 0 і 1. Ідеальна для електроніки, бо транзистори “вмикаються” чи “вимикаються”. Кожне число — ланцюжок цих бітів, як код ДНК у цифровому світі.
• Вісімкова (основа 8): Вісім знаків — 0-7. Зручна для групування бінарних трійок, використовувалася в ранніх комп’ютерах UNIX.
• Шістнадцяткова (основа 16): Шістнадцять символів — 0-9, A-F (A=10, F=15). Стандарт для програмування, бо чотири біти вміщаються в одну “літеру”.
• Шістдесяткова (історична, основа 60): Дві базові форми, комбінуються для 59 значень. Вавилоняни нею міряли час і кути — звідси 60 хвилин в годині.

Після цього списку стає зрозуміло: кількість цифр завжди скінченна й визначається основою системи. У двадцятковій майя їх двадцять, з символами для пальців ніг. Сучасні варіанти індо-арабських цифр множаться в азійських культурах — від деванагарі до тайських, але суть та сама: обмежена палітра для безмежного рахунку.

Джерело даних: uk.wikipedia.org (розділи “Цифри” та “Системи числення”). Ця таблиця ілюструє, як скінченна кількість цифр породжує нескінченні комбінації — перехід до світу чисел.

Числа: піраміда від скінченних до безмежних множин

Число — абстракція кількості, що виростає з цифр. Натуральні числа починають від 1 (або 0, залежно від школи) і марширують уперед: 1,2,3… Їх можна перелічити, поставивши в ряд, — зліченна нескінченність. Додайте від’ємні та нуль — отримайте цілі числа, все ще зліченні.

Раціональні — дроби на кшталт 1/2 чи 22/7 — теж зліченні, хоч і густіше заповнюють числову пряму. Їх можна “розкласти” бієкцією з натуральними, як показав Кантор. А от дійсні числа, включаючи ірраціональні на зразок √2 чи π, утворюють континуум — непереліченну множину, де кожен інтервал [0,1] ховає більше елементів, ніж усіх натуральних разом.

Комплексні числа, з уявною одиницею i (√-1), додають другий вимір: a + bi. Їхня множина на площині також має потужність континууму. Далі йдуть кватерніони, октоніони — гіперкомплексні світи для 3D-графіки та фізики.

1. Почніть з натуральних: підрахунок яблук, з потужністю ℵ₀.
2. Цілі: додайте борги та нуль — та сама ℵ₀.
3. Раціональні: частки — перелік можливий, ℵ₀.
4. Дійсні: безперервність — 2^ℵ₀ = c.
5. Комплексні: площина — c.

Цей список нагадує драбину: кожен щабель ширший за попередній, але перші три — однакової “висоти” нескінченності.

Нескінченність чисел: революція Георга Кантора

Уявіть Галілея, який першим помітив парадокси: парних чисел стільки ж, скільки всіх натуральних, бо подвоєння ставить їх у відповідність. Але Кантор у 1870-х пішов далі, створивши теорію множин. Його діагональний аргумент — геніальний удар: припустіть перелік усіх дійсних у [0,1] як нескінченні десяткові дроби. Складіть нове число з діагоналей, змінивши кожну цифру — воно не в списку! Отже, континуум незліченний.

Кантор страждав від опору — Леві розкритикував “хворобою нескінченних”. Та правда перемогла: натуральні зліченні (ℵ₀), дійсні — ні. Теорема Кантора: потужність підмножин множини завжди більша за саму множину.

Це відкрило ієрархію алефів: ℵ₀, ℵ₁… Кожен наступний — потужність континууму попереднього.

Кардинальність: порівняння нескінченностей

Потужність множини — її “розмір”, незалежно від скінченності. Дві множини рівнопотужні, якщо між ними бієкція. Натуральні та раціональні — ℵ₀. Дійсні — c ≈ 10^3,000,000 у сенсі “густоти”. Комплексні — теж c.

Континуум-гіпотеза Кантора: немає множини між ℵ₀ і c, тобто c = ℵ₁. Гедель (1940) показав її сталість у ZFC, Коен (1963) — незалежність. Станом на 2026 рік, гіпотеза не доведена й не спростована — відкрите питання.

Джерело: uk.wikipedia.org (розділ “Потужність множини”). Таблиця показує стрибок: від зліченних до континуальних без межі.

Великі скінченні числа: межа уяви

Хоч натуральні нескінченні, математики винаходять гіганти: гугол — 10¹⁰⁰, одиниця зі 100 нулями, більше атомів у Всесвіті (10⁸⁰). Гуголплекс — 10^гугол, його не записати в observable universe. Число Грема з теорії Ремзі — вежа експонент, де кожна ітерація троїть попередню 64 рази — перевершує будь-яку фізичну реалізацію.

Ці монстри тестують алгоритми, як у проекті з π: станом на 2021 — 62,8 трлн цифр, а до 2026 обчислення сягають сотень трильйонів, але π ірраціональне, нескінченне.

Цифри лишаються мостом до цих безодень, нагадуючи: з малого народжується безмежне. Кожне нове число — пригода, що чекає відкриття.