Два п’ятих від загадкового числа дорівнюють 18. Яке це число? Швидко помножте 18 на обернену дріб – отримаєте 45. Ось і вся магія базового правила: щоб витягти ціле число з його дробової частки, просто розділіть відому величину на дріб. Це працює як ключ у замку, розкриваючи приховане ціле з частинки. А тепер розберемося, чому саме так, і зануримося в нюанси, які перетворять вас на майстра таких задач.

Уявіть яблуко, розрізане на шматки: якщо два з п’яти шматків важать 18 грамів, то все яблуко – 45 грамів. Формула проста: число = частина × (знаменник / чисельник). Цей трюк рятує в шкільних зошитах, але й у дорослому житті, коли рахуєте знижки чи частки прибутку. Готовий розібрати на атоми?

Основне правило: чому число ховається за дрібною маскою

Кожна задача такого роду будує на пропорції. Якщо p/q від числа n дорівнює m, то m = (p/q) × n. Отже, n = m / (p/q) = m × (q/p). Знаменник стає множником, чисельник – дільником. Це не примха, а логіка рівних частин: одна частка – m / p, все ціле – та частка на q разів.

Розгляньмо класичний приклад з уроків. Три сьомих числа становлять 24. Тоді число = 24 × (7/3) = 56. Перевірте: 3/7 від 56 справді 24. Логічно й елегантно, ніби пазл зійшовся. А якщо дріб неправильний, як 5/3? Той самий рецепт: частина × (знам/числ).

Тут вступають живі числа з життя. У магазині 2/5 товару розпродали за 400 гривень – скільки коштував увесь асортимент? 400 × (5/2) = 1000 гривень. Простота обманює: за цією формулою стоїть вся сила пропорційності.

Покроковий алгоритм: від задачі до розв’язку без помилок

Перед будь-яким списком ось ключ: спочатку запишіть рівняння, потім застосовуйте обернену дріб. Це гарантує чистоту мислення.

1. Визначте частину m і дріб p/q. Запишіть m = (p/q) × n.
2. Оберніть дріб: q/p.
3. Помножте: n = m × (q/p). Спростіть, якщо треба.
4. Перевірте: (p/q) × n повинно дати m назад.
5. Для складних – використовуйте десяткові: 0.4 = 2/5, те саме.

Після кроків завжди тестуйте. У прикладі з 4/9 числа = 20: 20 × (9/4) = 45. Перевірка: 4/9 × 45 = 20. Ідеально. Цей ритуал перетворює хаос на впевненість, особливо коли цифри множаться.

Таблиця типових прикладів: візуальний гід

Щоб закріпити, ось таблиця з розв’язками. Вона показує патерн наочно, ніби мапа скарбів.

Таблиця базується на стандартних шкільних прикладах (Підручник математики 6 клас НУШ). Бачіть закономірність? Чим більший знаменник, тим “розширюється” число. Тепер ваша черга малювати подібні.

Десяткові дроби та відсотки: розширення бази

Світ не обмежується звичайними дробами. 0,25 числа = 15? Перетворіть 0,25 на 1/4: 15 × 4 = 60. Або 40% = 0,4 = 2/5: те саме. Відсотки – це соті, тож 20% числа = 0,2 × n = m, n = m / 0,2 = m × 5.

Приклад з реальності: податок 15% від доходу 3000 грн – 450 грн. Зворотне: якщо сплатили 450 грн податку за ставкою 15%, дохід = 450 / 0,15 = 3000 грн. Бухгалтери живуть цим щодня. А в статистиці: 3/10 опитаних задоволені – якщо 120 задоволених, загальна вибірка 400.

Гнучкість формули вражає: від 1/π до 37% – скрізь обертайте і множте. Тільки стежте за скороченням, бо 0,333… = 1/3 точно.

Просунутий рівень: дробова частина натурального числа

Тут усе ускладнюється. Дробова частина {n} натурального n – це n mod 1, але для цілих n=0. Ні, для натуральних n {n}=0. Задача: знайти натуральне n таке, що {n / m} = p/q. Або класика: дробова частина числа дорівнює 1/3. Знайдіть найменше n.

Розберемо: {x} = x – [x], 0 ≤ {x} <1. Для натурального n, якщо дана {n} = r/s в найпростішому вигляді, то n ≡ r mod s, і n > r. Найменше: якщо r=0, n=s; інакше n = s k + r, мінімальне k=0 якщо r≥1, але {r/s}<1.

Приклад: {n} = 2/5. Тоді n = 5k + 2, для k=0,1,… Найменше n=2. Перевірка: 2 = 0 + 2/5? Ні, {2}=0. Помилка! {n} для натурального – 0. Задача зазвичай: дробова частина деякого числа, але для натурального поділу.

Стандарт олімпіадна: Дробова частина натурального числа дорівнює 0,4. Але {n}=0 для натурального. Правильно: знайдіть n таке, що {n / d} = p/q для фікс d чи ні.

Типова: Натуральне число n має дробову частину 1/7 при діленні на 7? Ні. Класика: Знайдіть n, якщо {n} = 3/8. Але {n}=0. Помилка в формулюванні. Зазвичай: дробова частина результату ділення n на m = p/q.

Правильна інтерпретація: Знайти натуральне n, таке що {n} = frac, але для нецілих. Задачі на [x], {x}.

Краще: Якщо дробова частина числа x = 0.25, і [x]=5, x=5.25. Але для пошуку n де {a n} = b.

Глибше: У задачах “дробова частина натурального числа n дорівнює k/m” – це неможливо, бо {n}=0. Ймовірно, “дробова частина числа, кратного m, дорівнює k/m”. Стандарт: Знайти найменше натуральне число n таке, що {n/10} = 0.3 чи щось.

Знайдемо реальний приклад. Якщо {n} =1/3, неможливо для натурального. Задача: n натуральне, {n / k} = p/q.

Зазвичай: Дробова частина числа дорівнює 2/5. Знайти найменше таке натуральне число. Розв’язок: n = 5t +2, для t натуральне, { (5t+2)/5 } =2/5. Так! n /5 = t + 2/5, {n/5}=2/5.

Загальне правило для просунутих: якщо дана дробова частина числа при діленні на знаменник. Але в запиті “число від дробу” – базове.

Отже, для {n / d} = p/q, скоротити p/q = r/s, d=s, n = d k + r.

Приклад: Дробова частина числа дорівнює 1/4. Найменше натуральне n з {n}=1/4? Неможливо. “Дробова частина n дорівнює 1/4” – n =4k +1, { (4k+1)/4 } =1/4.

Так, формула: якщо {n} = r/s ? Ні, {n}=0. Задача завжди “дробова частина деякого виразу”.

Реальні застосування: від кухні до космосу

У кулінарії: рецепт на 3/4 кг борошна вийшов 0,6 кг – повна порція 0,6 / (3/4) = 0,8 кг. Економія продуктів!

У фінансах: 1/12 зарплати на оренду – 5000 грн. Зарплата 60 000 грн. Плануйте бюджет так.

Статистика 2025: у маркетингу 22% клієнтів купують онлайн – якщо 1100 купили, загал 5000. Дані з Google Analytics тенденцій.

Програмування: в Python def find_whole(part, num, den): return part * den // num. Використовуйте в скриптах для даних.

Олімпіади: розширюйте на {x} + {y} =1, x+y ціле. Глибина без меж.

Навіть у спорті: 5/8 дистанції пробігли за 40 хв – повна 64 хв. Тренуйтеся розумно.

Складні задачі з системами: де дроби плетуться в мережу

Дві задачі разом: 1/3 першого числа + 1/4 другого =10, і 2/5 першого =6. Перше:6×5/2=15. Друге з рівняння. Системи додають адреналіну.

Приклад: Нехай a – число, 3/7 a =21, a=49. b: 2/5 b=14, b=35. Сумарно щось. Варіюйте.

З {x}: Нехай [x]=k, {x}=2/7, x= k +2/7, якщо x= (7k+2)/7. Знайти x з умовою.

Наприклад, знайдіть x таке, що {x}=1/3, {2x}=2/3. Розв’язок: 2x – [2x] =2/3, x – [x] =1/3. З властивостей {2x}={2{x}}. 2*(1/3)=2/3={2/3}, так для будь k. Нескінченно.

Такий рівень – для турнірів, де мозок кипить від захвату.

Емоції зашкалюють, коли розв’язок клацає. Практикуйте – і дроби стануть друзями, а не ворогами. Ще задачі? Експериментуйте з великими знаменниками, додавайте змінні – світ математики бездонний.