Паралелограм ховає в собі дві діагоналі, довжини яких можна обчислити за простою формулою: для сторін a і b з кутом α між ними перша діагональ d₁ дорівнює √(a² + b² + 2ab cos α), а друга d₂ — √(a² + b² – 2ab cos α). Ця пара формул — ключ до розв’язання більшості задач, ніби надійний компас у геометричному лабіринті. А ще є універсальне рівняння: d₁² + d₂² = 2(a² + b²), яке працює навіть без кутів.

Уявіть чотирикутник ABCD, де AB паралельна CD, а AD — BC. Діагоналі AC і BD перетинаються в точці O, ділячись навпіл — це фундаментальна властивість, що робить паралелограм симетричним і передбачуваним. Знаючи лише сторони чи площу, ви швидко знайдете потрібну довжину, і це відкриває двері до інженерних розрахунків чи графічного дизайну.

Така базова логіка приховує глибину: від шкільних задач до моделювання сил у фізиці. Далі розберемо кожен крок, щоб ви могли не просто запам’ятати, а відчути геометрію на дотик.

Паралелограм у суті: означення та перші властивості

Чотирикутник з паралельними протилежними сторонами — ось паралелограм у всій красі, ніби два вектори, що будують стабільну основу для мосту чи даху. Протилежні сторони рівні: AB = CD = a, AD = BC = b. Кути навпроти теж рівні, а суміжні доповнюють один одного до 180°, створюючи ефект “розтягнутої коробки”.

Діагоналі тут — не просто лінії, а мости між вершинами. Кожна ділить фігуру на два конгруентні трикутники, а їх перетин O стає центром симетрії. Це не випадковість: уявіть, як паралелограм обертається навколо O на 180°, збігаючись сам із собою. Така симетрія полегшує обчислення, перетворюючи складне на елегантне.

Згідно з uk.wikipedia.org, сума кутів завжди 360°, а протилежні — рівні. Ці базові риси роблять паралелограм родоначальником прямокутника, ромба чи квадрата — спеціальних випадків, де діагоналі набувають додаткових чарів.

Властивості діагоналей: чому вони особливі

Діагоналі паралелограма перетинаються в середині кожної — AO = OC, BO = OD. Це не просто факт, а теорема, доведена через рівність трикутників ABD і CBD за сторонами та кутом. Кожна діагональ розбиває фігуру на два трикутники рівної площі, ніби ріже пиріг навпіл без ваг.

• Перетин навпіл: точка O — середина обох діагоналей, центр ваги фігури.
• Конгруентні трикутники: AC створює ΔABC ≅ ΔADC, BD — ΔABD ≅ ΔBCD.
• Правило паралелограма: d₁² + d₂² = 2(a² + b²), що пов’язано з векторним додаванням.
• Площа через діагоналі: S = (d₁ d₂ sin γ)/2, де γ — кут між ними.

Після цих властивостей обчислення стають інтуїтивними. У ромбі діагоналі перпендикулярні, у прямокутнику — рівні, а в квадраті — все разом. Ці нюанси додають родзинки, роблячи паралелограм універсальним інструментом.

Формули для діагоналей: від простого до складного

Найпоширеніший спосіб — через сторони та кут між ними. Розгляньмо паралелограм ABCD з кутом α при A. За теоремою косинусів у ΔABC: d₁² (AC) = a² + b² – 2ab cos(180° – α) = a² + b² + 2ab cos α. Аналогічно для d₂ (BD).

Джерела даних: ua.onlinemschool.com/math/formula/parallelogram. Ця таблиця спрощує вибір: якщо кут відомий — беріть косинуси, якщо обидві діагоналі — суму квадратів. Для просунутих є варіанти з синусами чи тангенсами.

Покрокове виведення: чому формули працюють

Візьміть ΔABD для d₂ (BD). Сторони a (AB), b (AD), кут α. За косинусами: BD² = AB² + AD² – 2 AB AD cos α = a² + b² – 2ab cos α. Для d₁ у ΔABC кут 180° – α, cos(180° – α) = -cos α, тож +2ab cos α. Логічно й елегантно, ніби пазл складається сам.

Сума квадратів виводиться додаванням: d₁² + d₂² = 2a² + 2b². Це правило Варіньона чи векторне: |u + v|² + |u – v|² = 2|u|² + 2|v|², де сторони — вектори.

Такий підхід розвиває інтуїцію: формули не з повітря, а з трикутників усередині паралелограма.

Приклади обчислень: від шкільної задачі до реальності

Припустимо, a = 5 см, b = 7 см, α = 60°. Cos 60° = 0.5. Тоді d₁ = √(25 + 49 + 2*5*7*0.5) = √(74 + 35) = √109 ≈ 10.44 см. d₂ = √(74 – 35) = √39 ≈ 6.24 см. Перевірка: 10.44² + 6.24² ≈ 109 + 39 = 148, 2(25+49)=148. Ідеально!

1. Задача 1: Паралелограм з a=10, b=8, α=30° (cos=√3/2≈0.866). d₁=√(100+64+2*10*8*0.866)≈√(164+27.7)≈13.3. d₂=√(164-27.7)≈11.4.
2. Задача 2: Діагоналі 13 і 15, a=10. Знайдіть b: 169+225=2(100+b²) → 394=200+2b² → b²=97 → b≈9.85.
3. Задача 3: Площа S=50, d₂=12, γ=90° (sin=1). d₁=2*50/(12*1)≈8.33.

Ці приклади показують гнучкість: міняйте дані — і формули адаптуються. Спробуйте самі з калькулятором для практики.

Векторний і координатний підходи: для просунутих

Паралелограм народжується з векторів u і v: вершини A(0,0), B(u), D(v), C(u+v). Діагональ AC = |u+v|, BD=|u-v|. Довжини: √(|u|² + |v|² + 2 u·v), √(|u|² + |v|² – 2 u·v). Скалярний добуток u·v = ab cos α — зв’язок з класикою.

На координатній площині: A(0,0), B(a,0), D(c,d), C(a+c,d). Тоді d₁=√((a+c)² + d²), d₂=√(c² + d²). Це корисно для програмування чи CAD-систем, де точність — король.

Такий погляд розширює горизонти: від Евкліда до сучасної графіки, де паралелограми моделюють трансформації.

Застосування в житті: від архітектури до фізики

У мостах чи фермах діагоналі розраховують на міцність — формула d₁² + d₂² гарантує баланс сил. У комп’ютерній графіці паралелограмні трансформації спотворюють зображення для ефектів, а в фізиці векторне додавання сил малює саме його.

Навіть у сонячних панелях чи дахах — стабільність завдяки паралельності. Розрахунок діагоналей економить матеріали, роблячи конструкції легшими й міцнішими. Ви не уявите, як часто ця геометрія ховається в повсякденності!

З цими інструментами ви готові до будь-якої задачі. Експериментуйте з різними кутами — від гострих 30° до тупих 150° — і побачите, як діагоналі танцюють у ритмі косинусів. Геометрія оживає, коли ви самі її торкаєтеся.